题目内容

20.下列式子中,最小值为2的有①②③⑤
①y=2x+$\frac{1}{{2}^{x}}$;②y=x2+$\frac{1}{{x}^{2}}$;③y=$\frac{1}{si{n}^{2}x}+si{n}^{2}x$;
④y=$\frac{2}{sinx}+\frac{sinx}{2}$,x∈(0,π);⑤y=tanx+$\frac{cosx}{sinx}$,x$∈(π,\frac{3π}{2})$;
⑥y=$\sqrt{{x}^{2}+2}+\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$⑦y=$\frac{{x}^{2}+5}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$.

分析 利用基本不等式得①、②、③、⑤满足题意;④中y=$\frac{2}{sinx}+\frac{sinx}{2}$≥2$\sqrt{\frac{2}{sinx}•\frac{sinx}{2}}$=2取不到等号,不满足题意;⑥通过$\sqrt{{x}^{2}+2}$≥2、$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$≥$\frac{1}{2}$知其不满足题意;通过分离分子可得⑦不满足题意.

解答 解:①∵2x>0,
∴y=2x+$\frac{1}{{2}^{x}}$≥2$\sqrt{{2}^{x}•\frac{1}{{2}^{x}}}$=2,
当且仅当2x=$\frac{1}{{2}^{x}}$即x=0时等号成立,
故①满足题意;
②∵x2>0,
∴y=x2+$\frac{1}{{x}^{2}}$≥2$\sqrt{{x}^{2}•\frac{1}{{x}^{2}}}$=2,
当且仅当x2=$\frac{1}{{x}^{2}}$即x=±1时等号成立,
故②满足题意;
③∵sin2x>0,
∴y=$\frac{1}{si{n}^{2}x}+si{n}^{2}x$≥2$\sqrt{\frac{1}{si{n}^{2}x}•si{n}^{2}x}$=2,
当且仅当$\frac{1}{si{n}^{2}x}$=sin2x即x=$\frac{π}{2}$+kπ(k∈Z)时等号成立,
故③满足题意;
④∵x∈(0,π),∴sinx∈(0,1],
∴y=$\frac{2}{sinx}+\frac{sinx}{2}$≥2$\sqrt{\frac{2}{sinx}•\frac{sinx}{2}}$=2,
当且仅当$\frac{2}{sinx}$=$\frac{sinx}{2}$即sinx=2时等号成立,
故④不满足题意;
⑤∵x$∈(π,\frac{3π}{2})$,∴tanx、$\frac{cosx}{sinx}$∈(0,+∞),
∴y=tanx+$\frac{cosx}{sinx}$≥2$\sqrt{tanx•\frac{cosx}{sinx}}$=2,
当且仅当tanx=$\frac{cosx}{sinx}$即x=$\frac{5π}{4}$时等号成立,
故⑤满足题意;
⑥∵$\sqrt{{x}^{2}+2}$≥2,$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$≥$\frac{1}{2}$,
∴y=$\sqrt{{x}^{2}+2}+\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$>2,
故⑥不满足题意;
⑦∵y=$\frac{{x}^{2}+5}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$=$\frac{{x}^{2}+4+1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$≥2+$\frac{1}{2}$>2,
∴⑦不满足题意,
故答案为:①②③⑤.

点评 本题考查基本不等式,注意等号成立时的条件,属于中档题.

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