Question

5．设{a_n}为等比数列，a₁=1，a₂=3．
（Ⅰ）求最小的自然数n，使a_n≥2014；
（Ⅱ）求和：${T_{2n}}=\frac{1}{a_1}-\frac{2}{a_2}+\frac{3}{a_3}-…-\frac{2n}{{{a_{2n}}}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意确定出a_n通项公式，即可确定出最小的自然数n的值；
（Ⅱ）根据题意列举出T_2n，以及-$\frac{1}{3}$T_2n，两数相减即可确定出T_2n．

解答 解：（Ⅰ）由已知条件得a_n=1•（$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$）^n-1=3^n-1，
∵3⁶＜2014＜3⁷，
∴使a_n≥2014成立的最小自然数n=8；
（Ⅱ）∵T_2n=$\frac{1}{1}$-$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{{3}^{2}}$-$\frac{4}{{3}^{3}}$…-$\frac{2n}{{3}^{2n-1}}$①，
-$\frac{1}{3}$T_2n=-$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$-$\frac{3}{{3}^{3}}$+…-$\frac{2n-1}{{3}^{2n-1}}$+$\frac{2n}{{3}^{2n}}$②，
∴①-②得：$\frac{4}{3}$T_2n=1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$-$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{2n-1}}$-$\frac{2n}{{3}^{2n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{3}^{2n}}}{1+\frac{1}{3}}$-$\frac{2n}{{3}^{2n}}$=$\frac{{3}^{2n+1}-3-8n}{4•{3}^{2n}}$，
则T_2n=$\frac{{3}^{2n+2}-9-24n}{16•{3}^{2n}}$．

点评 此题考查了数列的求和，以及等比数列的通项公式，求和公式，熟练掌握公式是解本题的关键．