题目内容
已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),若b、c满足c≥
+1,且f(c)-f(b)≤M(c2-b2)恒成立,则M的最小值为______.
b2 |
4 |
∵c≥
+1≥2×
×1知,c≥|b|,
当c>|b|时,有M≥
=
=
,
令t=
,则-1<t<1,
=2-
,
∵函数g(t)=2-
(-1<t<1)为增函数,
∴该函数的值域是(-∞,
);
∴当c>|b|时,M的取值集合为[
,+∞);
当c=|b|时,由c≥
+1知,b=±2,c=2,此时f(c)-f(b)=-8或0,
c2-b2=0,从而f(c)-f(b)≤
(c2-b2)恒成立;
综上所述,M的最小值为
.
故答案为:
.
b2 |
4 |
|b| |
2 |
当c>|b|时,有M≥
f(c)-f(b) |
c2-b2 |
c2-b2+bc-b2 |
c2-b2 |
c+2b |
b+c |
令t=
b |
c |
c+2b |
b+c |
1 |
1+t |
∵函数g(t)=2-
1 |
1+t |
∴该函数的值域是(-∞,
3 |
2 |
∴当c>|b|时,M的取值集合为[
3 |
2 |
当c=|b|时,由c≥
b2 |
4 |
c2-b2=0,从而f(c)-f(b)≤
3 |
2 |
综上所述,M的最小值为
3 |
2 |
故答案为:
3 |
2 |

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