题目内容
【题目】设满足以下两个条件的有穷数列,
,
,
为
阶“期待数列”:
①;
②.
()分别写出一个单调递增的
阶和
阶“期待数列”.
()若某
阶“期待数列”是等差数列,求该数列的通项公式.
()记
阶“期待数列”的前
项和为
,试证:
.
【答案】(1)三阶: ,
,
四阶:
,
,
,
.(2)
;(3)证明见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)借助新定义利用等差数列,写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”;
(Ⅱ)利用某阶“期待数列”是等差数列,通过公差为0,大于0.小于0,分别求解该数列的通项公式;
(Ⅲ)判断k=n时, ,然后证明k<n时,利用数列求和以及绝对值三角不等式证明即可.
试题解析:
()三阶:
,
,
四阶:
,
,
,
.
()设等差数列
,
,
,
,
公差为
,
∵,
∴,
∴,即
,
∴且
时与①②矛盾,
时,由①②得:
,
∴,即
,
由得
,即
,
∴,
令,
∴,
时,同理得
,
即,
由得
即
,
∴,
∴时,
.
()当
时,显然
成立;
当时,根据条件①得
,
,
即,
,
∴,
∴.
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