Question

5．已知m，n是正实数，且n＞m，若P=（1+m）ⁿ，Q=（1+n）^m，则（　　）

• A． P≥Q
• B． P＜Q
• C． P＞Q
• D． P，Q大小关系无法确定

Answer 1

分析 令f（x）=$\frac{x}{ln（1+x）}$，利用导数法，分析函数为单调递增函数，故当n＞m＞0，则$\frac{n}{ln（1+n）}$＞$\frac{m}{ln（1+m）}$，结合不等式的基本性质，化为指数式，可得答案．

解答 解：令f（x）=$\frac{x}{ln（1+x）}$，则f′（x）=$\frac{ln（1+x）-\frac{x}{1+x}}{{ln}^{2}（1+x）}$，
令h（x）=$ln（1+x）-\frac{x}{1+x}$，
则h′（x）=$\frac{1}{1+x}-\frac{1}{（1+x）^{2}}$=$\frac{x}{{（1+x）}^{2}}$，
当-1＜x＜0时，h′（x）＜0，h（x）为减函数；
当x＞0时，h′（x）＞0，h（x）为增函数；
故h（x）≥h（0）=0，
故f′（x）≥0在（-1，+∞）上恒成立，故f（x）在（-1，+∞）上为增函数，
当n＞m＞0，
则$\frac{n}{ln（1+n）}$＞$\frac{m}{ln（1+m）}$，
则nln（1+m）＞mln（1+n），
则ln（1+m）ⁿ＞ln（1+n）^m，
即（1+m）ⁿ＞（1+n）^m，
即P＞Q，
故选：C．

点评 本题考查的知识点是导数法分析函数的单调性，本题需要构造函数f（x）=$\frac{x}{ln（1+x）}$，再进行转化，难度较大．