Question

15．设锐角△ABC的三个内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若sinA=$\frac{4}{5}$，∠B=$\frac{π}{4}$．
（1）求cosA及sinC的值：
（2）若b=2$\sqrt{2}$，求a及△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数关系式可求cosA的值，由sinC=sin（A+B），根据两角和的正弦函数公式即可求值．
（2）由正弦定理可得a=$\frac{bsinA}{sinB}$的值，根据三角形面积公式即可求△ABC的面积S．

解答 解：（1）∵锐角△ABC的三个内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若sinA=$\frac{4}{5}$，∠B=$\frac{π}{4}$．
∴cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{3}{5}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．
（2）∵b=2$\sqrt{2}$，
∴由正弦定理可得：a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{2\sqrt{2}×\frac{4}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{16}{5}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×\frac{16}{5}×2\sqrt{2}×\frac{7\sqrt{2}}{10}$=$\frac{112}{25}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理，三角形面积公式的应用，熟练掌握和灵活应用相关公式及定理是解题的关键，属于基础题．