Question

10．已知α是锐角，且cos（α+$\frac{π}{5}$）=$\frac{1}{3}$，则cos（2α+$\frac{π}{15}$）=$\frac{-7+4\sqrt{6}}{18}$．

Answer 1

分析 由题意可得sin（α+$\frac{π}{5}$），进而由二倍角公式可得sin（2α+$\frac{2π}{5}$）和cos（2α+$\frac{2π}{5}$），代入cos（2α+$\frac{π}{15}$）=cos[（2α+$\frac{2π}{5}$）-$\frac{π}{3}$]=$\frac{1}{2}$cos（2α+$\frac{π}{15}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2α+$\frac{π}{15}$）化简可得．

解答 解：∵α是锐角，且cos（α+$\frac{π}{5}$）=$\frac{1}{3}$，
∴sin（α+$\frac{π}{5}$）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+\frac{π}{5}）}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sin（2α+$\frac{2π}{5}$）=2×$\frac{1}{3}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
cos（2α+$\frac{2π}{5}$）=（$\frac{1}{3}$）²-（$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）²=-$\frac{7}{9}$，
∴cos（2α+$\frac{π}{15}$）=cos[（2α+$\frac{2π}{5}$）-$\frac{π}{3}$]
=$\frac{1}{2}$cos（2α+$\frac{π}{15}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2α+$\frac{π}{15}$）
=$\frac{1}{2}×（-\frac{7}{9}）$+$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{4\sqrt{2}}{9}$=$\frac{-7+4\sqrt{6}}{18}$
故答案为：$\frac{-7+4\sqrt{6}}{18}$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数基本关系和二倍角公式，属中档题．