题目内容
【题目】已知
，函数
.
（1）若函数
在
上为减函数，求实数
的取值范围；
（2）令
，已知函数
，若对任意
，总存在
，使得
成立，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
【解析】试题分析：（1）由题函数
上为减函数，可以转化为f'（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，由此求解参数范围即可；
（2）（2）由题
.
，可求出
的值域为
.
若对任意
，总存在
.使得
成立，则，
函数在
的值域是
在
的值域的子集.，由此可得到实数
的取值范围.
试题解析：（1）因为，
要使在为减函数，则需
在上恒成立.
即
在上恒成立，因为
在为增函数，所以在的最小值为
，所以.
（2）因为
，所以.
，
当
时，
在
上为递增，
当
时，
在
上为递减，
所以的最大值为
，所以的值域为.
若对任意，总存在.使得成立，则，
函数在的值域是在的值域的子集.
对于函数
，
①当
时，的最大值为
，所以在上的值域为
，由
得
；
②当
时，的最大值为
，所以在上的值域为
，由
得
（舍）.
综上所述，的取值范围是
.
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