Question

【题目】已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+1（x∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间．
（2）若f（x）﹣2a+1≥0对x∈[﹣2，4]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=3x2﹣6x﹣9，

令f′（x）＞0，解得：x＜﹣1或x＞3，

令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜3，

故函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞），单调减区间为（﹣1，3）

（2）解：由（1）知f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递增，在[﹣1，3]上单调递减，在[3，4]上单调递增，

又f（﹣2）=﹣1，f（3）=﹣26，f（3）＜f（﹣2），

∴f（x）min=﹣26，

∵f（x）﹣2a+1≥0对x∈[﹣2，4]恒成立，

∴f（x）min≥2a﹣1，即2a﹣1≤﹣26，

∴a≤﹣

【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性求出端点值和极值，从而求出f（x）的最小值，得到关于a的不等式，求出a的范围即可．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．