题目内容
【题目】如图,在三棱锥中,
平面
,
,点
是棱
的中点,
,点
是棱
上一点,且
.
(1)证明:平面
;
(2)若,
,点
在棱
上,且
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)证明平面
,可得出
,再证明
可得出
,利用线面垂直的判定定理可得出结论;
(2)过点作
的平行线交
于点
,然后以点
为坐标原点,
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建立空间直角坐标系
,计算出
的坐标,并计算出平面
的法向量,利用空间向量法能计算出直线
与平面
所成角的正弦值.
(1)因为平面
,且
平面
,所以
,
又,
,所以
平面
,
平面
,故
,
因为,
,
,
因为平面
,
平面
,所以
,
所以,所以
,又
,
平面
;
(2)因为,
,则
,
,
过点作
的平行线交
于点
,因为
平面
,所以
平面
,
又因为,故可以
、
、
分别作为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系,
则部分点坐标为:,
,
,
,
则,
,
,
因为点在棱
上,且
,则
,
则,即有
,即
,
由(1)知平面
,则
为平面
的一个法向量,
设直线与平面
所成角为
,则
,
即直线与平面
所成角的正弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】质检部门为了解某企业生产的一-种圆柱形零件的质量情况,随机抽检了100个零件,得到这些零件的横截面直径d(单位:)的频率分布表如下:
d的分组 | |||||
零件数 | 12 | 38 | 38 | 10 | 2 |
(1)试估计这个企业生产的这类零件的横截面直径不低于的概率;
(2)求这个企业生产的这类零件的横截面直径的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该区间的中点值为代表).(精确到0.01)
【题目】自由购是一种通过自助结算购物的形式.某大型超市为调查顾客自由购的使用情况,随机抽取了100人,调查结果整理如下:
20以下 | [20,30) | [30,40) | [40,50) | [50,60) | [60,70] | 70以上 | |
使用人数 | 3 | 12 | 17 | 6 | 4 | 2 | 0 |
未使用人数 | 0 | 0 | 3 | 14 | 36 | 3 | 0 |
(1)现随机抽取1名顾客,试估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率;
(2)从被抽取的年龄在[50,70]使用的自由购顾客中,随机抽取2人进一步了解情况,求这2人年龄都在[50,60)的概率;
(3)为鼓励顾客使用自由购,该超市拟对使用自由购顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物,试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋?