题目内容
【题目】已知椭圆 的左焦点为F,上顶点为A,直线AF与直线
垂直,垂足为B,且点A是线段BF的中点.
(I)求椭圆C的方程;
(II)若M,N分别为椭圆C的左,右顶点,P是椭圆C上位于第一象限的一点,直线MP与直线 交于点Q,且
,求点P的坐标.
【答案】(I).
(II)
【解析】
(I)写出坐标,利用直线
与直线
垂直,得到
.求出
点的坐标代入
,可得到
的一个关系式,由此求得
和
的值,进而求得椭圆方程.(II)设出
点的坐标,由此写出直线
的方程,从而求得
点的坐标,代入
,化简可求得
点的坐标.
(I)∵椭圆的左焦点,上顶点
,直线AF与直线
垂直
∴直线AF的斜率,即
①
又点A是线段BF的中点
∴点的坐标为
又点在直线
上
∴ ②
∴由①②得:
∴
∴椭圆的方程为
.
(II)设
由(I)易得顶点M、N的坐标为
∴直线MP的方程是:
由 得:
又点P在椭圆上,故
∴
∴
∴或
(舍)
∴
∴点P的坐标为
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