题目内容
【题目】已知数列{an}满足:a1=,an+1=
(n∈N*).(其中e为自然对数的底数,e=2.71828…)
(1)证明:an+1>an(n∈N*);
(2)设bn=1-an,是否存在实数M>0,使得b1+b2+…+bn≤M对任意n∈N*成立?若存在,求出M的一个值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)不存在,理由见解析
【解析】
(1)构造函数证明
即可得证;
(2)先用数学归纳法证明,则bn=1-an
,取
,通过转化
即可证明.
考虑函数,则
,
由得
,由
得
,
所以函数在
单调递减,
单调递增,
所以,即
,当且仅当
时取得等号,
所以,当等号成立时,
即
,但a1=
,
所以an+1>an(n∈N*);
(2)不存在,理由如下:
先用数学归纳法证明
当n=1时,满足题意;
假设当n=k时命题成立,即成立,
那么当n=k+1时,,
即当n=k+1时,命题也成立,
所以对于一切n∈N*,都有,
bn=1-an,取
,
即,
所以对于任意实数M>0,取t>2M,且,
有
所以不存在满足条件的M.

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