Question

3．设F₂（c，0）（c＞0）是双曲线Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，M是双曲线左支上的一点，线段MF₂与圆x²+y²-$\frac{2c}{3}$x+$\frac{{a}^{2}}{9}$=0相切于D，且|MF₂|=3|DF₂|，则双曲线Γ的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 由圆的方程求出圆心坐标，设出D的坐标，由题意列式求出D的坐标，结合|MF₂|=3|DF₂|求得M的坐标，再把M的坐标代入双曲线方程求得答案．

解答 解：由x²+y²-$\frac{2c}{3}$x+$\frac{{a}^{2}}{9}$=0，得$（x-\frac{c}{3}）^{2}+{y}^{2}=\frac{{b}^{2}}{9}$，
则该圆的圆心坐标为（$\frac{c}{3}$，0），半径为$\frac{b}{3}$．
设切点D（x₀，y₀）（y₀＞0），
则$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}-\frac{2c}{3}{x}_{0}+\frac{{a}^{2}}{9}=0}\\{（{x}_{0}-c，{y}_{0}）•（{x}_{0}-\frac{c}{3}，{y}_{0}）=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}-\frac{2c}{3}{x}_{0}+\frac{{a}^{2}}{9}=0}\\{{{x}_{0}}^{2}-\frac{4c}{3}{x}_{0}+{{y}_{0}}^{2}+\frac{{c}^{2}}{3}=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{3{c}^{2}-{a}^{2}}{6c}}\\{{y}_{0}=\frac{b\sqrt{3{c}^{2}+{a}^{2}}}{6c}}\end{array}\right.$．
∴D（$\frac{3{c}^{2}-{a}^{2}}{6c}，\frac{b\sqrt{3{c}^{2}+{a}^{2}}}{6c}$），
由|MF₂|=3|DF₂|，得M（$-\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2c}$，$\frac{b\sqrt{3{c}^{2}+{a}^{2}}}{2c}$），
代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，得：
$\frac{（{a}^{2}+{c}^{2}）^{2}}{4{a}^{2}{c}^{2}}-\frac{3{c}^{2}+{a}^{2}}{4{c}^{2}}=1$，整理得，$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=5$，∴$e=\sqrt{5}$．
故选：C．

点评 本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了圆与圆锥曲线间的关系，考查了学生的计算能力，是中档题．