Question

11．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，过AB、AD、DD₁的中点P、Q、R作截面，求截面与面CC₁D₁D所成的二面角的大小．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出截面与面CC₁D₁D所成的二面角的大小．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为2，
则Q（1，0，0），R（0，0，1），P（1，1，0），
$\overrightarrow{QR}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{QP}$=（0，1，0），
设平面PQR的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{QR}=-x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{QP}=y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
平面CC₁D₁D的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$|=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴截面与面CC₁D₁D所成的二面角的大小为$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．