题目内容
7．若对任意的x＞1，x2+3≥a（x-1）恒成立，则实数a的最大值是6．分析 运用参数分离法，化简函数的表达式，利用基本不等式求出左侧的最小值，即可得出结论．
解答 解：对任意的x＞1，x2+3≥a（x-1）恒成立，即为a≤$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$，
由$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$=x-1+$\frac{4}{x-1}$+2≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{4}{x-1}}$+2=6，
当且仅当x=3时等号成立．（$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$）min=6，
对任意的x＞1，$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$≥a恒成立，
就是a≤（$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$）min=6，
即a的最大值是6．
故答案为：6．
点评 本题考查基本不等式在最值中的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点（1，0）的距离与到定直线x=2的距离之比为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，设动点P的轨迹为C．
2．在区间[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]上随机取一个数x，使cos$\frac{π}{3}$x的值介于$\frac{1}{2}$到1之间的概率为（ ）
| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{2}{π}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{2}{3}$ |
12．如图，在矩形ABCD中，已知AB=2，BC=1，若在矩形ABCD中任取一点P，则点P满足|AP|≤1的概率为（ ）
| A． | $\frac{π}{8}$ | B． | $\frac{π}{16}$ | C． | $\frac{π}{32}$ | D． | $\frac{π}{64}$ |