题目内容
【题目】设,
.
(1)令,求
的单调区间;
(2)当时,证明
.
【答案】(1)当时,函数
单调递增区间为
;当
时,函数
单调递增区间为
,单调递减区间为
;(2)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)求出的导数,
,分
讨论,分别由
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;(2)只要证明
即可,由(1)知,
,证明
在
即可.
试题解析:(1)由,
.
可得.
当时,
时,
,函数
单调递增;
当时,
时,
,函数
单调递增;
时,
,函数
单调递减;
所以,当时,函数
单调递增区间为
;当
时,函数
单调递增区间为
,单调递减区间为
.
(2)只要证明对任意,
.
由(1)知,在
取得最大值,
且.
令,
,
则在
上单调递增,
.
所以当时,
即
.
【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、利用导数证明不等式,属于难题.利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤:①确定函数
的定义域;②对
求导;③令
,解不等式得
的范围就是递增区间;令
,解不等式得
的范围就是递减区间;④根据单调性求函数
的极值及最值(闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小).
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