Question

【题目】已知幂函数y=f（x）的图象过点（8，m）和（9，3）．

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）若函数g（x）=logaf（x）（a＞0，a≠1）在区间[16，36]上的最大值比最小值大1，求实数a的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意y=f（x）是幂函数，设设f（x）=xα，图象过点（8，m）和（9，3）即可求解m的值．

（Ⅱ）函数g（x）=logaf（x）在区间[16，36]上的最大值比最小值大1，对底数进行讨论，利用单调性求最值，可得实数a的值．

试题解析： 解：（Ⅰ）由题意，y=f（x）是幂函数，设f（x）=xα，图象过点（8，m）和（9，3）

可得9α=3，所以α=，

故f（x）=．

∴m=f（8）=2．

故得m的值为2．

（Ⅱ）函数g（x）=logaf（x）即为g（x）=，

∵x在区间[16，36]上，

∴∈[4，6]，

①当0＜a＜1时，g（x）min=loga6，g（x）max=loga4，

由loga4﹣loga6=loga=1，

解得a=；

②当a＞1时，g（x）min=loga4，g（x）max=loga6，

由loga6﹣loga4=loga=1，

解得a=．

综上可得，实数a的值为或．