Question

18．△ABC中，AB=8，AC=6，M为BC的中点，O为△ABC的外心，$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AM}$=25．

Answer 1

分析 如图所示，过点O分别作OD⊥AB，OE⊥AC，则D，E分别为AB，AC的中点．可得$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}$=32，$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AC}}^{2}$=18．又$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，代入计算即可得出．

解答 解：如图所示，
过点O分别作OD⊥AB，OE⊥AC，
则D，E分别为AB，AC的中点．
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}$=32，$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AC}}^{2}$=18．
又$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AO}•\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$
=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$
=16+9
=25．
故答案为：25．

点评 本题考查了三角形外心的性质、垂经定理、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．