题目内容
【题目】如图,四边形为正方形, 平面, , .试结合向量法:(1)证明:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2) .
【解析】试题分析:首先根据题意以为坐标原点,线段的长为单位长,射线为轴正半轴建立空间直角坐标系;(1)根据坐标系,求出、、的坐标,由向量积的运算易得, ,进而可得, ,由面面垂直的判定,即可证明;(2)依题意结合坐标系,可得、、的坐标,进而求出平面与平面的法向量,根据二面角与其法向量夹角的关系,即可得答案.
试题解析:如图,以为坐标原点,线段的长为单位长,射线为轴正半轴建立空间直角坐标系.
(1)证明:依题意有, , ,则, , .
∴, ,即, .
∴平面
又∵平面,
∴平面平面
(2)依题意有, ,
设是平面的法向量,则
,即
∴可取
设是平面的法向量,则
可取
∴,则二面角的余弦值为
【题目】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位: ).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.
(1)假设生产状态正常,记表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数,求及的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
9.95 | 10.12 | 9.96 | 9.96 | 10.01 | 9.92 | 9.98 | 10.04 |
10.26 | 9.91 | 10.13 | 10.02 | 9.22 | 10.04 | 10.05 | 9.95 |
经计算得,其中为
抽取的第个零件的尺寸, .
用样本平均数作为的估计值,用样本标准差作为的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除之外的数据,用剩下的数据估计和(精确到0.01).
附:若随机变量服从正态分布,则, .