题目内容
【题目】已知函数,且函数在处取到极值.
(1)求曲线在处的切线方程;
(2)若函数,且函数有3个极值点,,,证明:.
【答案】(1);(2)证明见解析
【解析】
(1)求出原函数的导函数,由求解值,则曲线在处的切线方程可求;
(2)求出函数的解析式,由,根据已知有
三个解,存在两个不同于的零点, 设,求出取值范围,结合的函数特征,可判断是函数的两个零点,构造函数,研究的单调性,把证明转化为证明即可.
(1), ,
函数在处取到极值,,即.
则,,
∴曲线在处的切线方程为;
(2),
函数的定义域为且,
令,,
在上单调递减,在上单调递增;
是的最小值;有三个极值点,
,得.
的取值范围为,
当时,,,
;即,是函数的两个零点.
,消去得;
令,,
的零点为,且.
在上递减,在上递增.
要证明,即证,
等价于证明,即.
,即证.
构造函数,则;
只要证明在上单调递减,
函数 在单调递减;
增大时,减小,增大,减小,
在上是减函数.
在上是减函数.
当时, .
即.
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