题目内容

【题目】已知函数,且函数处取到极值.

1)求曲线处的切线方程;

2)若函数,且函数3个极值点,证明:.

【答案】1;(2)证明见解析

【解析】

1)求出原函数的导函数,由求解值,则曲线处的切线方程可求;

2)求出函数的解析式,由,根据已知

三个解,存在两个不同于的零点, ,求出取值范围,结合的函数特征,可判断是函数的两个零点,构造函数,研究的单调性,把证明转化为证明即可.

1

函数处取到极值,,即.

∴曲线处的切线方程为

2

函数的定义域为

上单调递减,在上单调递增;

的最小值;有三个极值点

,得.

的取值范围为

时,

;即是函数的两个零点.

,消去

的零点为,且.

上递减,在上递增.

要证明,即证

等价于证明,即.

即证.

构造函数,则

只要证明在单调递减,

函数 单调递减;

增大时,减小,增大,减小,

上是减函数.

上是减函数.

时, .

.

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