题目内容
【题目】已知函数,且函数
在
处取到极值.
(1)求曲线在
处的切线方程;
(2)若函数,且函数
有3个极值点
,
,
,证明:
.
【答案】(1);(2)证明见解析
【解析】
(1)求出原函数的导函数,由求解
值,则曲线
在
处的切线方程可求;
(2)求出函数的解析式,由
,根据已知
有
三个解,存在两个不同于
的零点, 设
,求出
取值范围,结合
的函数特征,可判断
是函数
的两个零点,构造函数
,研究
的单调性,把证明
转化为证明
即可.
(1),
,
函数
在
处取到极值,
,即
.
则,
,
∴曲线在
处的切线方程为
;
(2),
函数的定义域为且
,
令,
,
在
上单调递减,在
上单调递增;
是
的最小值;
有三个极值点
,
,得
.
的取值范围为
,
当时,
,
,
;即
,
是函数
的两个零点.
,消去
得
;
令,
,
的零点为
,且
.
在
上递减,在
上递增.
要证明,即证
,
等价于证明,即
.
,
即证
.
构造函数,则
;
只要证明在
上
单调递减,
函数 在
单调递减;
增大时,
减小,
增大,
减小,
在
上是减函数.
在
上是减函数.
当
时,
.
即.
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