Question

【题目】对于数列，设表示数列前项， ， ， 中的最大项．数列满足： ．

（）若，求的前项和．

（）设数列为等差数列，证明： 或者（为常数），， ， ， ．

（）设数列为等差数列，公差为，且．

记，

求证：数列是等差数列．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析．

【解析】试题分析：（1）由可得， ， ， ， ，从而可得结果；（2）设公差为，当时， 单调递减， （为常数），当时， 单调递增， ，∴或者（为常数）；（）求出， ， ，以此类推，

为常数，所以数列是等差数列.

试题解析：（）∵

，

当时， 单调递增，

∴，

，

，

当时， 单调递减，

∴，

，

，

∴．

（）∵是等差数列，设其公差为，

当时， 单调递减， （为常数），

当时， 单调递增， ，

∴或者（为常数），， ， ．

（）∵是等差数列， ，

∵，

，

∵， ，

∴，

∴，

同理，

以此类推，

为常数，

∴数列是等差数列．