题目内容
【题目】定义:若函数的定义域为
,且存在非零常数
,对任意
,
恒成立,则称
为线周期函数,
为
的线周期.
(1)下列函数①,②
,③
(其中
表示不超过x的最大整数),是线周期函数的是 (直接填写序号);
(2)若为线周期函数,其线周期为
,求证:
为周期函数;
(3)若为线周期函数,求
的值.
【答案】(1)③;(2)见解析;(3)1
【解析】试题分析:(1)根据新定义判断即可,
(2)根据新定义证明即可,
(3)为线周期函数,可得存在非零常数
,对任意
,
..即可得到
,解得验证即可.
试题解析:
(1)③;
(2)证明:∵为线周期函数,其线周期为
,
∴存在非零常数,对任意
,
恒成立.
∵,
∴
.
∴为周期函数.
(3)∵为线周期函数,
∴存在非零常数,对任意
,
.
∴.
令,得
;令
,得
;
①②两式相加,得.
∵,∴
.检验:
当时,
.存在非零常数
,对任意
,
,
∴为线周期函数,综上,
.
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