Question

【题目】在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．

Answer 1

【答案】△ABC是等腰直角三角形

【解析】试题分析：

由sin2A＝sin2B＋sin2C及正弦定理可得a2＝b2＋c2，故△ABC为直角三角形；再由sin A＝2sin Bcos C，将角化为边（或化为角）可得（或B＝C），从而得△ABC为等腰三角形，故△ABC为等腰直角三角形．

试题解析：

方法一：

根据正弦定理，得

∵sin2A＝sin2B＋sin2C，

∴a2＝b2＋c2，

∴A是直角，B＋C＝90°，

∵sin A＝2sin Bcos C，

∴，

整理得．

∴△ABC是等腰直角三角形．

方法二：

根据正弦定理，得

∵sin2A＝sin2B＋sin2C，

∴a2＝b2＋c2，

∴A是直角，B＋C＝90°，

∵sin A＝2sin Bcos C，

又A＝180°－(B＋C)，

∴sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，

∴sin(B－C)＝0．

又－90°<B－C<90°，

∴B－C＝0，

∴B＝C，

∴△ABC是等腰直角三角形．