Question

20．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$cos（$\frac{π}{2}$-x）cosx-sin²x+cos²x（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）若f（x₀）=$\frac{6}{5}$，x₀∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，求cos2x₀的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），由周期公式可求函数最小正周期π．由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得单调递增区间．
（2）由x₀∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，可得2x₀+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，从而可求cos（2x₀+$\frac{π}{6}$），由cos2x₀=cos[（2x₀+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]根据两角差的余弦函数公式即可得解．

解答 解：（1）∵f（x）=2$\sqrt{3}$cos（$\frac{π}{2}$-x）cosx-sin²x+cos²x
=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得单调递增区间为：[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（2）∵x₀∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，
∴2x₀+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，
∵f（x₀）=2sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）=$\frac{6}{5}$，可解得：sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，
∴2x₀+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{2π}{3}$，π]，cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（2{x}_{0}+\frac{π}{6}）}$=-$\frac{4}{5}$，
∴cos2x₀=cos[（2x₀+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=（-$\frac{4}{5}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{3}{5}×\frac{1}{2}$=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，两角差的余弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．