Question

15．对于任意x∈[-2，1]时，不等式mx³-x²+4x+3≥0恒成立，求m的范围．

Answer 1

分析 通过x=0时，判断不等式是否成立求出m的范围，0＜x≤1时，利用导数求解函数的最值，f（x）_max，通过-2≤x＜0时求出函数f（x）_min，得到m的范围．

解答 解：当x=0时，不等式mx³-x²+4x+3≥0对任意m∈R恒成立；
当0＜x≤1时，ax³-x²+4x+3≥0可化为m≥$\frac{1}{x}$$-\frac{4}{{x}^{2}}-\frac{3}{{x}^{3}}$，
令f（x）=$\frac{1}{x}$$-\frac{4}{{x}^{2}}-\frac{3}{{x}^{3}}$，则f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$=-$\frac{（x-9）（x+1）}{{x}^{4}}$（*），
当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，
f（x）_max=f（1）=-6，∴m≥-6；
当-2≤x＜0时，mx³-x²+4x+3≥0可化为m≤$\frac{1}{x}$$-\frac{4}{{x}^{2}}-\frac{3}{{x}^{3}}$，
由（*）式可知，当-2≤x＜-1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
f（x）_min=f（-1）=-2，∴m≤-2；
综上所述，实数m的取值范围是-6≤m≤-2，即实数m的取值范围是[-6，-2]．

点评 本题考查分类讨论思想的应用，函数的导数以及函数闭区间上的最值，构造法以及恒成立问题的应用，难度比较大