题目内容

【题目】已知函数f(x)= ,若对任意的a∈(﹣3,+∞),关于x的方程f(x)=kx都有3个不同的根,则k等于(
A.1
B.2
C.3
D.4

【答案】C
【解析】解:∵对任意的a∈(﹣3,+∞),关于x的方程f(x)=kx都有3个不同的根,
∴不妨设a=0,
则x≤0时,f(x)=
若0<x≤1,则﹣1<x﹣1≤0,则f(x)=f(x﹣1)+1=
若1<x≤2,则0<x﹣1≤1,则f(x)=f(x﹣1)+1=
若2<x≤3,则1<x﹣1≤2,则f(x)=f(x﹣1)+1=
若3<x≤4,则2<x﹣1≤3,则f(x)=f(x﹣1)+1=

作出f(x)的图象如图:
当k=1时,f(x)与y=x只有一个交点,不满足条件,
当k=2时,f(x)与y=2x有四个交点,不满足条件,
当k=3时,f(x)与y=3x有三个交点,满足条件,
当k=4时,f(x)与y=4x只有两个交点,不满足条件,
故k=3,
故选:C.

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