题目内容
【题目】在如图所示的几何体中,四边形ABCD为正方形,△ABE为等腰直角三角形,∠BAE=90°,且AD⊥AE.
(1)证明:平面AEC⊥平面BED.
(2)求直线EC与平面BED所成角的正弦值.
【答案】
(1)证明:以A为原点,AE、AB、AD分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系
设正方形边长为2,则E(2,0,0),B(0,2,0),C(0,2,2),D(0,0,2)
=(0,2,2), =(0,﹣2,2), =(2,0,0), =(﹣2,0,2),
从而有 =0, =0,
即BD⊥AC,BD⊥AE,
因为AC∩AE=A,
所以BD⊥平面AEC,
因为BD平面BED,
所以平面BED⊥平面AEC
(2)解:设平面BED的法向量为 =(x,y,z),
则 ,故取 =(1,1,1)
而 =(﹣2,2,2),设直线EC与平面BED所成的角为θ,
则有sinθ=|cos< , >|=
【解析】(1)以A为原点,AE、AB、AD分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,证明 =0, =0,可得BD⊥AC,BD⊥AE,即可证明BD⊥平面AEC,从而平面AEC⊥平面BED.(2)求出平面BED的法向量,利用向量的夹角公式,即可求直线EC与平面BED所成角的正弦值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面与平面垂直的判定的相关知识,掌握一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直,以及对空间角的异面直线所成的角的理解,了解已知为两异面直线,A,C与B,D分别是上的任意两点,所成的角为,则.
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