题目内容
【题目】设函数,其中
.
(1)讨论的单调性;
(2)若不等式恒成立,求实数a的取值范围;
(3)求证:对于任意,存在实数
,当
时,
恒成立.
【答案】(1)在上为减函数,在
上为增函数;(2)
;(3)证明见解析
【解析】
(1)求出原函数的导函数.可得当
时,
,函数
在
上单调递减;当
时,令
求得
值,把定义域分段,由导函数在不同区间段内的符号,可得原函数的单调性;
(2)由恒成立,通过分离参数法,转化成不等式
恒成立,设
,通过导函数求出
的单调性,进而得出
的最大值,即可求出a的取值范围;
(3)由(1)可知当时,
在
上为减函数,在
上为增函数,再分类讨论:①当
时,当
时,
,此时取
;②当
时,构造新函数,利用新函数的单调性,可得出
时,
,此时取
,综合两种情况,即可证明出.
解:(1),
,
①当时,
恒成立,所以
在
上为减函数;
②当时,由
,得
,由
,得
;
由,得
,
所以在
上为减函数,在
上为增函数.
(2)由得,
,即不等式
,
恒成立,
记,则
,由
得,
;
由得,
;由
得,
.
所以在
为增函数,在
上为减函数,
所以,所以
.
(3)证明:由(1)知,
当时,
在
上为减函数,在
上为增函数.
①当,即
时,因为
在
上为增函数,
又,所以,当
时,
,此时取
.
②当,即
时,
因为,所以
,
,令
,
,则上式
,
记,
,则
,
所以在
上为增函数,所以
,即
,
因为在
上为增函数,且
,
所以当时,
,此时取
.
综上,对于任意,存在实数
,当
时,
恒成立.
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