题目内容

【题目】设椭圆的左焦点为,上顶点为.已知椭圆的短轴长为4,离心率为.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设点在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点为直线轴的交点,点轴的负半轴上.若为原点),且,求直线的斜率.

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ).

【解析】

(Ⅰ)由题意得到关于a,b,c的方程,解方程可得椭圆方程;

(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确定点P的坐标,从而可得OP的斜率,然后利用斜率公式可得MN的斜率表达式,最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程,解方程可得直线的斜率.

(Ⅰ) 设椭圆的半焦距为,依题意,,又,可得b=2,c=1.

所以,椭圆方程为.

(Ⅱ)由题意,设.设直线的斜率为

,则直线的方程为,与椭圆方程联立

整理得,可得

代入

进而直线的斜率

中,令,得.

由题意得,所以直线的斜率为.

,得

化简得,从而.

所以,直线的斜率为.

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