Question

【题目】如图，在四棱锥中，顶点P在底面的投影恰为正方形ABCD的中心且，设点M，N分别为线段PD，PO上的动点，已知当取得最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为____________．

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

根据已知条件可知四棱锥为正四棱锥；在上取一点，使得，从而可知三点共线时，取最小时，且最小值为；由三线合一性质可确定；求得后，利用勾股定理构造关于外接球半径的方程，解方程求得外接球半径，代入球的表面积公式可求得结果.

四边形为正方形，顶点在底面投影为正方形中心

四棱锥为正四棱锥

在上取一点，使得，则

三点共面 三点共线时，最小，最小值为

取最小值时，为中点 为中点

又当时，最小

设四棱锥外接球半径为

则，解得：

四棱锥外接球的表面积：

本题正确选项：