Question

【题目】已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．

Answer 1

【答案】【解答】解：令y＝0，可得r(1－cosφ)＝0，由于r>0，即得cosφ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．
代入x＝r(φ－sinφ)，得x＝r(2kπ－sin2kπ)．又因为x＝2，(1)将 消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0
将 代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得
ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0
所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0,
C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0
由 解得 或
所以C1与C2交点的极坐标分别为，．所以r(2kπ－sin2kπ)＝2，即得．又由实际可知r>0，所以．易知，当k＝1时，r取最大值为
【解析】本题主要考查了其它摆线的生成过程，解决问题的关键是根据圆的摆线的参数方程 (φ为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出r的表达式，根据表达式求出r的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可．