题目内容
【题目】设棱锥M-ABCD的底面是正方形，且MA=MD，MA⊥AB.如果△AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.
【答案】
【解析】
如图，因为AB⊥AD，AB⊥MA，所以，AB垂直于平面MAD，
由此知平面MAD垂直平面AC.
设E是AD的中点，F是BC的中点，则ME⊥AD，所以，ME垂直平面AC，ME⊥EF.
设球O是与平面MAD，AC，MBC都相切的球.
不失一般性，可设O在平面MEF上.于是O为△MEF的内心.
设球O的半径为r，则
.
设AD=EF=a，因为
，所以
，
，
且当
，即
时，上式取等号，所以，当AD=ME=
时，
与三个面MAD，AC，MBC都相切的球的半径最大，并且这个最大半径为.
作OG⊥ME于G，易证OG//平面MAB，G到平面MAB的距离就是O到平面MAB的距离.
过G作MH⊥MA于H，则GH是G到平面MAB的距离.
，
，
又
，
，
,
.
,
故O到平面MAB的距离大于球O的半径r，同样O到面MCD的距离也大于球O的半径r，
故球O在棱锥M-ABCD内，并且不可能再大.
据此可得所求的最大球的半径为.
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