Question

【题目】已知曲线M：的左、右顶点分别为A，B，设P是曲线M上的任意一点.

（1）当P异于A，B时，记直线PA、PB的斜率分别为、则是否为定值，请说明理由.

（2）已知点C在曲线M长轴上（异于A、B两点），且的最大值为7，求点C的坐标.

Answer 1

【答案】（1）k1k2为定值，证明见解析；（2）C（±3，0）

【解析】

（1）由已知椭圆方程求出A，B的坐标，设P（x0，y0）（﹣4≤x0≤4），由斜率公式及点P在椭圆上即可证明k1k2是定值；

（2）设C（m，0）（﹣4＜m＜4），写出两点间的距离公式，利用配方法求最值，可得C的坐标．

（1）证明：由椭圆方程可得A（﹣4，0），B（4，0），

设P（x0，y0）（﹣4≤x0≤4），

则，，

∴k1k2为定值；

（2）设C（m，0）（﹣4＜m＜4），

则

．

若4m≥0，即m≥0，则7，解得m＝3．

此时C，

同理，若4m＜0，可得m＝﹣3，此时C,

故C点坐标为C（±3，0）