题目内容
【题目】已知,
.
(1)若曲线在点
处的切线的斜率为5,求
的值;
(2)若函数的最小值为
,求
的值;
(3)当时,
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)(2)
(3)
【解析】试题分析:(1)本问考查导数几何意义,求导公式和导数四则运算,由题对求导得,
,则
,于是
;(2)本问考查利用导数研究函数的最值,
,当
,则
,分别讨论当
,
时,函数的单调性,从而求出最小值,令最小值等于
,求出
的值;(3)本问考查恒成立问题的解法,首先将不等式
等价转化为
,即
,所以问题转化为求函数
的最小值,利用已经得到的单调性可以求出最小值,进而求出
的范围.
试题解析:(1),
,
.
(2)函数的定义域为
,
,
令,则
,
①当,即
时,在
上,
,函数
单调递增,无最小值.
②当,即
时,在
上,
,函数
单调递减;在
上,
,函数
单调递增,所以函数
的最小值为
,解得
.
综上,若函数的最小值为
,则
.
(3)由
得,
,即
,
令,则
,
由(1)可知,当时,
在
上单调递减,在
上,
单调递增,所以在
上,
,所以
,即
.
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