题目内容
【题目】已知矩形的对角线交于点
,边
所在直线的方程为
,点
在边
所在的直线上.
(1)求矩形的外接圆的方程;
(2)已知直线(
),求证:直线
与矩形
的外接圆恒相交,并求出相交的弦长最短时的直线
的方程.
【答案】解:(1)由且
,点
在边
所在的直线上
所在直线的方程是:
即
由
得
矩形ABCD的外接圆的方程是:
(2)直线的方程可化为:
可看作是过直线
和
的交点
的直线系,即
恒过定点
由
知点
在圆
内,所以
与圆
恒相交,
设与圆
的交点为
,
为
到
的距离)
设与
的夹角为
,则
当
时,
最大,
最短此时
的斜率为
的斜率的负倒数:
,
的方程为
即:
【解析】试题分析:由且点
在边
所在的直线上得直线
的方程,联立直线
方程得交点
的坐标,则题意可知矩形
外接圆圆心为
,半径
,可得外接圆方程;(2)由
可知
恒过点
,求得
,可证
与圆相交,求得
与圆相交时弦长
,经检验,
时弦长最短,可得
,进而得
,最后可得直线
方程.
试题解析:(1)∵且
,∴
,点
在边
所在的直线上,
∴所在直线的方程是
,即
.
由得
.
∴,∴矩形
的外接圆的方程是
.
(2)证明:直线的方程可化为
,
可看作是过直线
和
的交点
的直线系,即
恒过定点
,
由知点
在圆
内,所以
与圆
恒相交,
设与圆
的交点为
(
为
到
的距离),
设与
的夹角为
,则
,当
时,
最大,
最短.
此时的斜率为
的斜率的负倒数,即
,故
的方程为
,即
.
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