Question

【题目】定义在上的函数满足：对任意、恒成立，当时，.

（1）求证在上是单调递增函数；

（2）已知，解关于的不等式；

（3）若，且不等式对任意恒成立.求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）结合已知先构造，可得，利用函数的单调性的定义作差变形可证明；（2）由f（1），及f（2）=f（1）+f（1）-2可求f（2），然后结合（I）中的函数的单调性可把已知不等式进行转化，解二次不等式即可；（3）由f（-2）及已知可求f（-1），进而可求f（-3），由已知不等式及函数的单调性可转化原不等式，结合恒成立与最值求解的相互转化即可求解.

试题解析：（1）当时，

，所以，所以在上是单调递增函数 4分

（2），由得

在上是单调递增函数，所以

8分

（3）由得

所以，由得

在上是单调递增函数，所以

对任意恒成立.记

只需.对称轴

（1）当时，与矛盾.

此时；

（2）当时，，又，所以；

（3）当时，

又；

综合上述得： 14分.