Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），现以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）在曲线上是否存在一点，使点到直线的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点的直角坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）， .

【解析】试题分析：（1）把曲线的参数方程分类参数，根据同角三角函数的基本关系消去参数得到其普通方程，根据把直线的极坐标方程化成直角坐标方程；（2）设，由点到直线的距离公式得到距离关于参数的的函数关系，通过三角恒等变换和三角函数的性质得到最小值和相应点的坐标.

试题解析：（1）由题意知曲线的参数方程可化简为，

．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

由直线的极坐标方程可得直角坐标方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）若点是曲线上任意一点，则可设，

设其到直线的距离为，则．．．．．．．．．．．．．．7分

化简得，当，即时， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

此时点的坐标为……………………10分