Question

（本小题满分13分）
给定椭圆，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”． 若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到距离为．
（Ⅰ）求椭圆及其“伴随圆”的方程；
（Ⅱ）若过点的直线与椭圆C只有一个公共点，且截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为，求的值；
（Ⅲ）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q作直线，使得与椭圆C都只有一个公共点，试判断直线的斜率之积是否为定值,并说明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意得：，半焦距       
则椭圆C方程为                       
“伴随圆”方程为                             ……………3分
（Ⅱ）则设过点且与椭圆有一个交点的直线为：，         
则整理得
所以，解①    ……………5分
又因为直线截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为，
则有化简得  ②      ……………7分
联立①②解得，，
所以，，则                   ……………8分
（Ⅲ）当都有斜率时，设点其中，
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，
由，消去得到  ……………9分
即， ，  
经过化简得到：，               ……………11分
因为，所以有，
设的斜率分别为，因为与椭圆都只有一个公共点，
所以满足方程，
因而，即直线的斜率之积是为定值           ……………13分

略