题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,对于点
、直线
,我们称
为点
到直线
的方向距离.
(1)设双曲线上的任意一点
到直线
,
的方向距离分别为
,求
的值;
(2)设点、到直线
的方向距离分别为
,试问是否存在实数
,对任意的
都有
成立?说明理由;
(3)已知直线和椭圆
,设椭圆
的两个焦点
到直线
的方向距离分别为
满足
,且直线
与
轴的交点为
、与
轴的交点为
,试比较
的长与
的大小.
【答案】(1);(2)
,理由见详解;(3)
,证明见详解.
【解析】
(1)根据定义表示出,然后结合点在双曲线上计算出
的值;
(2)假设存在满足条件,计算出
的值,令
,即可求解出满足条件的
的值;
(3)根据新定义得到的结果,根据条件得到
的范围,将
的范围代入到
中利用基本不等式即可比较出
与
的大小,即可比较出
与
的大小.
(1)由题设可知:设,所以
,
所以,
又因为,所以
;
(2) 假设存在实数满足条件,因为
,
,
所以,所以
,所以
,
故存在满足条件;
(3)因为,所以
,
所以,所以
,
又因为,所以
,
所以,取等号时
,
所以,所以
.
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