题目内容
1.已知函数f(x)=x(lnx-2ax),a∈R.(1)若f(x)≤2(0<x<1)恒成立,求a的最小值;
(2)若函数f(x)有两个极值点,求a的取值范围.
分析 (1)问题转化为2a≥$\frac{lnx-2}{x}$恒成立,令g(x)=$\frac{lnx-2}{x}$(0<x<1),通过求导得到函数g(x)在(0,1)递增,从而得到2a≥g(1)=-2,进而求出a的最小值;
(2)问题转化为f′(x)=lnx-4ax+1=0有两个不相等的实数根,令g(x)=lnx-4ax+1,通过求导得到函数g(x)的单调性,求出g(x)的最大值,进而求出a的范围.
解答 解:(1)∵0<x<1,
∴f(x)≤2(0<x<1)恒成立
?x(lnx-2ax)≤2x(0<x<1)恒成立
?lnx-2ax≤2(0<x<1)恒成立
?2a≥$\frac{lnx-2}{x}$恒成立,
令g(x)=$\frac{lnx-2}{x}$(0<x<1),
则g′(x)=$\frac{3-lnx}{{x}^{2}}$,(0<x<1),
∵0<x<1,
∴g′(x)>0恒成立,
∴g(x)在(0,1)上单调递增,
∴2a≥g(1)=-2,
∴a≥-1,a的最小值为-1;
(2)f(x)=x(lnx-2ax)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=lnx-2ax+x($\frac{1}{x}$-2a)=lnx-4ax+1,
∵函数f(x)有2个极值点,
∴f′(x)=lnx-4ax+1=0有两个不相等的实数根,
当a>0时,令g(x)=lnx-4ax+1,则g′(x)=$\frac{1}{x}$-4a=$\frac{1-4ax}{x}$,
由g′(x)>0得0<x<$\frac{1}{4a}$,由g′(x)<0解得:x>$\frac{1}{4a}$,
∴g(x)在(0,$\frac{1}{4a}$)上单调递增,在($\frac{1}{4a}$,+∞)上单调递减,
∴g(x)最大值=g($\frac{1}{4a}$)=-ln(4a)>0,
∴0<4a<1,0<a<$\frac{1}{4}$,
∴a的范围是(0,$\frac{1}{4}$).
点评 本题考查了函数的单调性、函数的极值问题,考查导数的应用,本题是一道难题.
高一年级 | 高二年级 | 高三年级 | |
男生 | 290 | b | 344 |
女生 | 260 | c | a |
(1)求a的值;
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取60名学生,则在高二年级应抽取多少名学生?
(3)已知b≥260,c≥200,求高二年级男生比女生多的概率.
A. | $(0,\frac{{\sqrt{3}}}{3})$ | B. | $[0,\sqrt{3}]$ | C. | $[\frac{{\sqrt{3}}}{3},\sqrt{3})$ | D. | $(0,\sqrt{3})$ |
A. | $-\frac{1}{5}$ | B. | $-\frac{i}{5}$ | C. | $\frac{2i}{5}$ | D. | $\frac{2}{5}$ |