题目内容
【题目】设集合由满足下列两个条件的数列
构成:①
②存在实数
使得
对任意正整数
都成立.
(1)现在给出只有5项的有限数列试判断数列
是否为集合
的元素;
(2)设数列的前项和为
且
若对任意正整数
点
均在直线
上,证明:数列
并写出实数
的取值范围;
(3)设数列若数列
没有最大值,求证:数列
一定是单调递增数列。
【答案】(1)不是;(2),
;(3)证明略
【解析】
(1)由于,可知数列
不满足条件①.(2)由于点
,
在直线
上,可得
,利用递推关系可得:
,利用等比数列的前
项和公式可得:
,验证
,可知:条件①成立.由于
,即可得出条件②及其
,
的范围.(3)利用反证法证明.
(1)解:,因此数列
不满足条件①,
数列
.
(2)证明:点
,
在直线
上,
,
当时,
,可得:
,化为
,
n=1时,易知,显然
数列
是等比数列,首项为1,公比为
.
,
则,
.
条件①成立.
由于,
,
.
(3)证明:(反证法)若数列非单调递增,则一定存在正整数
,使
成立,
当时,由
,得
,
而,所以
.
显然在,
,
,
这
项中一定存在一个最大值,不妨记为
,
所以为,这与数列
没有最大值相矛盾.
所以假设不成立,故命题得证.
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练习册系列答案
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月数 | … | ||||
污染度 | … |
污染度为后,该工厂即停止整治,污染度又开始上升,现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式:
,
,
,其中
表示月数,
、
、
分别表示污染度.
(1)问选用哪个函数模拟比较合理,并说明理由;
(2)若以比较合理的模拟函数预测,整治后有多少个月的污染度不超过.