Question

【题目】如图，在四棱锥中， , ，点为棱的中点.

（1）证明： 平面；

（2）若，求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，根据三角形中位线定理可得，从而可得四边形为平行四边形， ，利用线面平行的判定定理可得平面；（2）由得，由勾股定理可得，从而得平面， 到平面的距离为，利用三角形面积公式求出底面积，根据等积变换及棱锥的体积公式可得 .

试题解析：（1）取的中点，连接.

因为点为棱的中点，

所以且，

因为且 ，

所以且，

所以四边形为平行四边形，

所以，

因为平面， 平面，

所以平面.

（2）因为，

所以.

因为，所以，

所以，

因为, 平面， 平面,

所以平面.

因为点为棱的中点，且，

所以点到平面的距离为2.

.

三棱锥的体积 .

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于中档题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.