题目内容
【题目】已知.
(1)将的单调区间和极值;
(2)若有两个零点
,求
的取值范围,并证明
.
【答案】(1)在区间
上单调递减,在区间
上单调递增;
有极小值
,无极大值;(2)
,证明见解析.
【解析】
(1)求得函数的导数,求得函数的单调性,根据函数极值的概念,即可求解;
(2)由(1)和题设条件得到极小值,令
,化简得到函数
,进而求得
,再由题目条件化简得
,
利用分析法,即可证得结论.
(1)由题意,函数,则
,
令,即
,可得
,解得
,
令,即
,可得
,解得
,
所以函数在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
所以当时,函数
取得极小值,
极小值为,无极大值.
(2)由(1)可知,若函数有两零点,则极小值
,
所以,可得
,即
,且极值点
,
又由,
令,则
,
,
,
令,
,
在
上单调递增,所以
所以,所以
,
从而可得在
上有一个零点,
所以当时,
在区间
各有唯一零点
由题目条件可得,两边同时取对数可得
,
,
两式相减可得,即
,
要证,
只需证,即证
,即证
,
即证 即证
,
令 ,则
,只需要证
,
令,则
,可得
,
当时
,所以
在
上单调递增,
所以当时
,所以
在
上单调递增,
当时
,即
在
上恒成立.
原命题得证.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】年上半年,随着新冠肺炎疫情在全球蔓延,全球超过
个国家或地区宣布进人紧急状态,部分国家或地区直接宣布“封国”或“封城”,随着国外部分活动进入停摆,全球经济缺乏活力,一些企业开始倒闭,下表为
年第一季度企业成立年限与倒闭分布情况统计表:
企业成立年份 | 2019 | 2018 | 2017 | 2016 | 2015 |
企业成立年限 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
倒闭企业数量(万家) | 5.23 | 4.70 | 3.72 | 3.12 | 2.42 |
倒闭企业所占比例 | 21.8% | 19.6% | 15.5% | 13.0% | 10.1% |
根据上表,给出两种回归模型:
模型①:建立曲线型回归模型,求得回归方程为
;
模型②:建立线性回归模型.
(1)根据所给的统计量,求模型②中关于
的回归方程;
(2)根据下列表格中的数据,比较两种模型的相关指数,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测
年成立的企业中倒闭企业所占比例(结果保留整数).
回归模型 | 模型① | 模型② |
回归方程 | ||
参考公式:,
;
.
参考数据:,
,
,
,
,
.