题目内容
【题目】已知定义在上的函数
和数列
满足下列条件:
,当
且
时,
且
,其中
均为非零常数.
(1)数列是等差数列,求
的值;
(2)令,若
,求数列
的通项公式;
(3)证明:数列是等比数列的充要条件是
.
【答案】(1)1(2)(3)证明见解析
【解析】
(1)由题意知,
,得
,再由等差数列,即可求解
值;
(2)由,可得
,因此
,由此可知,数列
是一个公比为
的等比数列.
(3)先进行充分性证明:若则
数列是等比数列;再进行必要性证明:若
数列是等比数列,则
.
(1)由已知,
,
得,
由数列是等差数列,得
,
所以,,
,
得.
(2)由,可得
,
且当时,
,
所以,当时,
,
因此,数列是一个公比为
的等比数列.
故通项公式为
(3)是等比数列的充要条件是
,
充分性证明:若,则由已知
,
得,所以,
是等比数列.
必要性证明:若是等比数列,由(2)知,
,
,
.
当时,
.上式对
也成立,
所以,数列的通项公式为:
.
所以,当时,数列
是以
为首项,
为公差的等差数列.
所以,.
当时,
.上式对
也成立,
所以,.
所以,.
即,等式对于任意实数
均成立.
所以.
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练习册系列答案
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(百元)内,且月工资收入在
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,并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图:
(1)求的值;
(2)已知这名农民工中月工资高于平均数的技术工有
名,非技术工有
名.
①完成如下所示列联表
技术工 | 非技术工 | 总计 | |
月工资不高于平均数 | |||
月工资高于平均数 | |||
总计 |
②则能否在犯错误的概率不超过的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系?
参考公式及数据:,其中
.