题目内容

【题目】已知函数其中为实数.为该函数图象上的两个不同的点.

(1)指出函数的单调区间;

(2)若函数的图象在点处的切线互相平行,求的最小值;

(3)若函数的图象在点处的切线重合,求的取值范围.(只要求写出答案).

【答案】(1)递增区间为的递减区间为.(2)(3)

【解析】

1)根据二次函数和对数函数单调性即可得到函数的单调区间;(2)根据切线平行可知;根据函数导函数的单调性可知分属两段不同区间;设,则,得到切线斜率,将化为,由基本不等式可求得最小值;(3)由切线重合得到斜率相等,得到,进而得到;根据切线重合,写出切线方程后可知方程相同,得到等式;令,利用导数可得函数的单调性,从而得到的值域,从而得到的范围.

1)当时,

上单调递减;在上单调递增

时,,在上单调递增

综上所述:的单调递增区间为:;单调递减区间为:

(2)设处的切线斜率为处的切线斜率为

处的切线互相平行

时,,在上单调递增

时,,在上单调递减

不能同时属于,也不能同时属于

不妨设,则

,即:

(当且仅当,即时取等号)

3)若切线重合,则,由(2)知:

,即

在点处的切线为:

在点处的切线为:

切线重合 切线方程相同,整理可得:

,则

时, 上单调递减

时,

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