题目内容
【题目】已知函数其中为实数.设,为该函数图象上的两个不同的点.
(1)指出函数的单调区间;
(2)若函数的图象在点,处的切线互相平行,求的最小值;
(3)若函数的图象在点,处的切线重合,求的取值范围.(只要求写出答案).
【答案】(1)递增区间为,,的递减区间为.(2)(3)
【解析】
(1)根据二次函数和对数函数单调性即可得到函数的单调区间;(2)根据切线平行可知;根据函数导函数的单调性可知分属两段不同区间;设,则,得到切线斜率,将化为,由基本不等式可求得最小值;(3)由切线重合得到斜率相等,得到,进而得到;根据切线重合,写出切线方程后可知方程相同,得到等式;令,,利用导数可得函数的单调性,从而得到的值域,从而得到的范围.
(1)当时,
在上单调递减;在上单调递增
当时,,在上单调递增
综上所述:的单调递增区间为:,;单调递减区间为:
(2)设在处的切线斜率为,在处的切线斜率为
在,处的切线互相平行
当时,,在上单调递增
当时,,在上单调递减
不能同时属于,也不能同时属于
不妨设,则 ,
,即:
(当且仅当,即时取等号)
(3)若切线重合,则,由(2)知:
,即
在点处的切线为:
在点处的切线为:
切线重合 切线方程相同,整理可得:
设,,则
时, 在上单调递减
又时,;
【题目】某市调查机构在某设置过街天桥的路口随机调查了110人准备过马路的交通参与者对跨越护栏和走过街天桥的看法,得到如下列联表:
男 | 女 | 合计 | |
走过街天桥 | 40 | 20 | 60 |
跨越护栏 | 20 | 30 | 50 |
合计 | 60 | 50 | 110 |
附:.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
K | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
则可以得到正确的结论是( )
A.有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”
B.有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关”
C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“选择过马路的方式与性别有关”
D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“选择过马路的方式与性别无关”
【题目】某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品,为了检测两套设备的生产质量情况,随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本,检测一项质量指标值,若该项质量指标值落在内,则为合格品,否则为不合格品.表1是甲套设备的样本的频数分布表,图1是乙套设备的样本的频率分布直方图.
表1:甲套设备的样本的频数分布表
质量指标值 | ||||||
频数 | 1 | 5 | 18 | 19 | 6 | 1 |
图1:乙套设备的样本的频率分布直方图
(1)根据表1和图1,通过计算合格率对两套设备的优劣进行比较;
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.
甲套设备 | 乙套设备 | 合计 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合计 |
附:
0.15 | 0.10 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
参考公式:,其中.