题目内容
【题目】已知函数.
(1)求曲线在点
处的切线方程;
(2)求的单调区间;
(3)若对于任意,都有
,求实数
的取值范围.
【答案】(1)(2)
的单调递增区间是
;
的单调递减区间是
(3)
.
【解析】
(1)先求得导函数,由导数的几何意义求得切线的斜率,再求得切点坐标,即可由点斜式得切线方程;
(2)求得导函数,并令求得极值点,结合导函数的符号即可判断函数单调区间;
(3)将不等式变形,并分离参数后构造函数,求得
并令
求得极值点,结合极值点左右两侧的单调性和端点求得最值,即可确定
的取值范围.
(1)因为函数,
所以,
.
又因为,则切点坐标为
,
所以曲线在点
处的切线方程为
.
(2)函数定义域为
,
由(1)可知,.
令解得
.
与
在区间
上的情况如下:
- | 0 | + | |
↘ | 极小值 | ↗ |
所以,的单调递增区间是
;
的单调递减区间是
.
(3)当时,“
”等价于“
”.
令,
,
,
.
令解得
,
当时,
,所以
在区间
单调递减.
当时,
,所以
在区间
单调递增.
而,
.
所以在区间
上的最大值为
.
所以当时,对于任意
,都有
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】在传染病学中,通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起,到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息,得到如下表格:
潜伏期(单位:天) | |||||||
人数 |
(1)求这1000名患者的潜伏期的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响,为研究潜伏期与患者年龄的关系,以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样,从上述1000名患者中抽取200人,得到如下列联表. 请将列联表补充完整,并根据列联表判断是否有的把握认为潜伏期与患者年龄有关;
潜伏期 | 潜伏期 | 总计 | |
50岁以上(含50岁) | |||
50岁以下 | 55 | ||
总计 | 200 |
(3)以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率,代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率,每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立. 为了深入研究,该研究团队随机调查了名患者,其中潜伏期超过6天的人数最有可能(即概率最大)是多少?
附:
,其中
.