Question

（12分）已知函数（）.
①当时，求曲线在点处的切线方程；
②设是的两个极值点，是的一个零点.证明：存在实数，使得按某种顺序排列后构成等差数列，并求.

Answer 1

①.②存在实数满足题意，且.

试题分析：（1）将a，b的值代入后对函数f（x）进行求导，根据导数的几何意义即函数在某点的导数值等于该点的切线的斜率，可得答案．
（2）对函数f（x）求导，令导函数等于0解出x的值，然后根据x₃是f（x）的一个零点可得到x₃=b，然后根据等差数列的性质可得到答案．
解：①当时，，故，又，
所以点处的切线方程为：.
②证明：因为=，由于，故，
所以的两个极值点为，不妨设，，
因为，且是的一个零点，故，
由于，故，故，又，
故=，此时依次成等差数列，
所以存在实数满足题意，且.
点评：对于导数在研究函数中的运用问题，对于导数的几何意义是考试的必考的一个知识点，要引起重视，同时对于极值点的导数为零是该点为极值点的必要不充分条件。