题目内容
13.已知f(x)=acos2x-bsinxcosx-$\frac{a}{2}$的最大值是$\frac{1}{2}$,且f($\frac{π}{3}$)=$\frac{\sqrt{3}}{4}$,则f(-$\frac{π}{3}$)=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$或0.分析 化简函数的解析式为f(x)=$\frac{a}{2}$cos2x-$\frac{b}{2}$sin2x,由它的最大值为$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$=$\frac{1}{2}$,可得 a2+b2=1;根据f($\frac{π}{3}$)=$\frac{\sqrt{3}}{4}$,求得 a=-$\sqrt{3}$(b+1),从而求得a、b的值,可得函数的解析式,从而求得f(-$\frac{π}{3}$)的值.
解答 解:由于f(x)=acos2x-bsinxcosx-$\frac{a}{2}$=$\frac{a}{2}$cos2x-$\frac{b}{2}$sin2x,∴它的最大值为$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$=$\frac{1}{2}$,∴a2+b2=1.
根据f($\frac{π}{3}$)=$\frac{\sqrt{3}}{4}$,可得-$\frac{1}{4}$a-$\frac{\sqrt{3}}{4}$b=$\frac{\sqrt{3}}{4}$,求得 a=-$\sqrt{3}$(b+1).
故有 $\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=-1}\end{array}\right.$,或 $\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$,∴f(x)=sinxcosx=$\frac{1}{2}$sin2x,或f(x)=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos2x+$\frac{1}{4}$sin2x=$\frac{1}{2}$sin(2x-$\frac{π}{3}$).
∴f(-$\frac{π}{3}$)=$\frac{1}{2}$sin(-$\frac{2π}{3}$)=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$,或f(-$\frac{π}{3}$)=$\frac{1}{2}$sin(-$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{3}$)=0,
故答案为:-$\frac{\sqrt{3}}{4}$或0.
点评 本题主要考查三角恒等变换,正弦函数的值域,属于中档题.
A. | (0,8-2$\sqrt{15}$) | B. | (4+2$\sqrt{3}$,8+2$\sqrt{15}$) | C. | (8-2$\sqrt{15}$,4-2$\sqrt{3}$) | D. | (12-2$\sqrt{35}$,8-2$\sqrt{15}$) |
A. | 0<m<2 | B. | 0<m<$\sqrt{2}$ | C. | -$\sqrt{2}$<m<$\sqrt{2}$ | D. | -$\sqrt{2}$<m<0 |
A. | x${\;}^{co{s}^{2}θ}$y${\;}^{si{n}^{2}θ}$<$\sqrt{2{x}^{2}+2{y}^{2}}$<x+y | |
B. | x${\;}^{co{s}^{2}θ}$y${\;}^{si{n}^{2}θ}$<x+y≤$\sqrt{2{x}^{2}+2{y}^{2}}$ | |
C. | x+y<x${\;}^{co{s}^{2}θ}$y${\;}^{si{n}^{2}θ}$<$\sqrt{2{x}^{2}+2{y}^{2}}$ | |
D. | x+y≤$\sqrt{2{x}^{2}+2{y}^{2}}$<x${\;}^{co{s}^{2}θ}$y${\;}^{si{n}^{2}θ}$ |