Question

4．解方程$\frac{{x}^{-1}-1}{{x}^{-\frac{2}{3}}+{x}^{-\frac{1}{3}}+1}$+$\frac{{x}^{-1}+1}{{x}^{-\frac{1}{3}}+1}$-$\frac{{x}^{-1}-{x}^{-\frac{1}{3}}}{{x}^{-\frac{1}{3}}-1}$=-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据乘法公式，把原方程化简，求出方程的解，是分式方程，需要检验是否有增根．

解答 解：原方程可化为
（${x}^{-\frac{1}{3}}$-1）+（${x}^{-\frac{2}{3}}$-${x}^{-\frac{1}{3}}$+1）-${x}^{-\frac{1}{3}}$（${x}^{-\frac{1}{3}}$+1）=-$\sqrt{2}$，
即${x}^{-\frac{1}{3}}$-1+${x}^{-\frac{2}{3}}$-${x}^{-\frac{1}{3}}$+1-${x}^{-\frac{2}{3}}$-${x}^{-\frac{1}{3}}$=-$\sqrt{2}$，
∴${x}^{-\frac{1}{3}}$=$\sqrt{2}$；
两边立方，得x^-1=2$\sqrt{2}$，
解得x=$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
经检验，x=$\frac{\sqrt{2}}{4}$是原方程的解．

点评 本题考查了分式方程的解法与应用问题，也考查了乘法公式的应用问题，是基础题目．