Question

3．周期函数f（x）的定义域为R，周期为2，且当-1＜x≤1时，f（x）=1-x²．若直线y=kx（k∈（0，+∞））与曲线y=f（x）恰有3个交点，则k的取值范围是（　　）

• A． （0，8-2$\sqrt{15}$）
• B． （4+2$\sqrt{3}$，8+2$\sqrt{15}$）
• C． （8-2$\sqrt{15}$，4-2$\sqrt{3}$）
• D． （12-2$\sqrt{35}$，8-2$\sqrt{15}$）

Answer 1

分析 利用函数的周期性，确定函数的解析式，与直线y=kx（k∈（0，+∞））联立，利用判别式=0，即可得出结论．

解答 解：设1＜x≤3，则-1＜x-2≤1，f（x-2）=1-（x-2）²，
与直线y=kx（k∈（0，+∞））联立可得x²+（k-4）x+3=0
△=（k-4）²-12=0，1＜x≤3，可得k=4-2$\sqrt{3}$，
设3＜x≤5，则-1＜x-4≤1，f（x-4）=1-（x-4）²，
与直线y=kx（k∈（0，+∞））联立可得x²+（k-8）x+15=0
△=（k-8）²-60=0，3＜x≤5，可得k=8-2$\sqrt{15}$，
∵直线y=kx（k∈（0，+∞））与曲线y=f（x）恰有3个交点，
∴k的取值范围是（8-2$\sqrt{15}$，4-2$\sqrt{3}$），
故选：C．

点评 本题考查函数的周期性，考查函数解析式的确定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．